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Gegeben ist die in definierte Funktion f:xe12x+e12x. Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet.

  1. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von Gf mit der y-Achse und begründen Sie, dass Gf oberhalb der x-Achse verläuft. (2 BE)

  2. Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von Gf sowie das Verhalten von f für x und für x. (3 BE)

  3. Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung f von f die Beziehung f(x)=14f(x) für x gilt. Weisen Sie nach, dass Gf linksgekrümmt ist. (4 BE)

  4. Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von Gf. (3 BE)

  5. Berechnen Sie die Steigung der Tangente g an Gf im Punkt P(2|f(2)) auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt P und die Gerade g in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: 4x4, 1y9). (3 BE)

  6. Berechnen Sie f(4), im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse Gf im Bereich 4x4 in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1e ein. (4 BE)

  7. Zeigen Sie durch Rechnung, dass für x die Beziehung 14[f(x)]2[f(x)]2=1 gilt. (3 BE)

    Die als Kurvenlänge La;b bezeichnete Länge des Funktionsgraphen von f zwischen den Punkten (a|f(a)) und (b|f(b)) mit a<b lässt sich mithilfe der Formel La;b=ab1+[f(x)]2dx berechnen.

  8. Bestimmen Sie mithilfe der Beziehung aus Aufgabe 1g die Kurvenlänge L0;b des Graphen von f zwischen den Punkten (0|f(0)) und (b|f(b)) mit b>0. (4 BE)